quarta-feira, 14 de dezembro de 2016

xercícios de Matemática com Conjuntos - União - Interseção - Complementos - Diferenças (Ensino médio)

Conjunto é uma coleção de objetos

Nos Conjuntos, trabalhamos com alguns conceitos primitivos, que devem ser entendidos e aceitos sem definição.

Alguns conceitos primitivos
Conjunto: representa uma coleção de objetos.

  1. O conjunto de todos os brasileiros.
  2. O conjunto de todos os números naturais.
  3. O conjunto de todos os números reais tal que x²-4=0.
Em geral, um conjunto é denotado por uma letra maiúscula do alfabeto: A, B, C, ..., Z.

Elemento: é um dos componentes de um conjunto.

  1. José da Silva é um elemento do conjunto dos brasileiros.
  2. 1 é um elemento do conjunto dos números naturais.
  3. -2 é um elemento do conjunto dos números reais que satisfaz à equação x²-4=0.
Em geral, um elemento de um conjunto, é denotado por uma letra minúscula do alfabeto: a, b, c, ..., z.
Pertinência: é a característica associada a um elemento que faz parte de um conjunto.

  1. José da Silva pertence ao conjunto dos brasileiros.
  2. 1 pertence ao conjunto dos números naturais.
  3. -2 pertence ao conjunto de números reais que satisfaz à equação x²-4=0.
Símbolo de pertinência: Se um elemento pertence a um conjunto utilizamos o símbolo in que se lê: "pertence".
Para afirmar que 1 é um número natural ou que 1 pertence ao conjunto dos números naturais, escrevemos:

in N
Para afirmar que 0 não é um número natural ou que 0 não pertence ao conjunto dos números naturais, escrevemos:
notin N
Um símbolo matemático muito usado para a negação é a barra / traçada sobre o símbolo normal.


Algumas notações para conjuntos
Muitas vezes, um conjunto é representado com os seus elementos dentro de duas chaves { e } através de duas formas básicas e de uma terceira forma geométrica:
Apresentação: Os elementos do conjunto estão dentro de duas chaves { e}.

  1. A={a,e,i,o,u}
  2. N={1,2,3,4,...}
  3. M={João,Maria,José}
Descrição: O conjunto é descrito por uma ou mais propriedades.
  1. A={x: x é uma vogal}
  2. N={x: x é um número natural}
  3. M={x: x é uma pessoa da família de Maria}
Diagrama de Venn-Euler: (lê-se: "Ven-óiler") Os conjuntos são mostrados graficamente.

Subconjuntos
Dados os conjuntos A e B, diz-se que A está contido em B, denotado por AsubsetB, se todos os elementos de A também estão em B. Algumas vezes diremos que um conjunto A está propriamente contido em B, quando o conjunto B, além de conter os elementos de A, contém também outros elementos. O conjunto A é denominado subconjunto de B e o conjunto B é o superconjunto que contém A.


Alguns conjuntos especiais
Conjunto vazio: É um conjunto que não possui elementos. É representado por { } ou por Ø. O conjunto vazio está contido em todos os conjuntos.
Conjunto universo: É um conjunto que contém todos os elementos do contexto no qual estamos trabalhando e também contém todos os conjuntos desse contexto. O conjunto universo é representado por uma letra U. Na sequência não mais usaremos o conjunto universo.


Reunião de conjuntos
A reunião dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B.
 B = { x: x  A ou x  B }
Exemplo: Se A={a,e,i,o} e B={3,4} então AB={a,e,i,o,3,4}.


Interseção de conjuntos
A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B.
 B = { x: x  A e x  B }
Exemplo: Se A={a,e,i,o,u} e B={1,2,3,4} então AB=Ø.
Quando a interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto vazio, dizemos que estes conjuntos são disjuntos.


Propriedades dos conjuntos
  1. Fechamento: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, a reunião de A e B, denotada por AB e a interseção de A e B, denotada por AB, ainda são conjuntos no universo.
  2. Reflexiva: Qualquer que seja o conjunto A, tem-se que:
     A = A   e   A  A = A
  3. Inclusão: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:
    subset A  B,  B subset A  B,  A  B subset A,  A  B subset B
  4. Inclusão relacionada: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:
    subset B equivale a A  B = B
    subset B equivale a A  B = A
  5. Associativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que:
     (B  C) = (A  B)  C
     (B  C) = (A  B)  C
  6. Comutativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:
     B = B  A
     B = B  A
  7. Elemento neutro para a reunião: O conjunto vazio Ø é o elemento neutro para a reunião de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem:
     Ø = A
  8. Elemento "nulo" para a interseção: A interseção do conjunto vazio Ø com qualquer outro conjunto A, fornece o próprio conjunto vazio.
     Ø = Ø
  9. Elemento neutro para a interseção: O conjunto universo U é o elemento neutro para a interseção de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem:
     U = A
  10. Distributiva: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que:
     (B  C ) = (A  B)  (A  C)
     (B  C) = (A  B)  (A  C)
    Os gráficos abaixo mostram a distributividade.

Diferença de conjuntos
A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B.
A-B = {x: x  A e x  B}
Do ponto de vista gráfico, a diferença pode ser vista como:


Complemento de um conjunto
O complemento do conjunto B contido no conjunto A, denotado por CAB, é a diferença entre os conjuntos A e B, ou seja, é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B.
CAB = A-B = {x: x  A e x  B}
Graficamente, o complemento do conjunto B no conjunto A, é dado por:
Quando não há dúvida sobre o universo U em que estamos trabalhando, simplesmente utilizamos a letra c posta como expoente no conjunto, para indicar o complemento deste conjunto. Muitas vezes usamos a palavracomplementar no lugar de complemento.
Exemplos: Øc=U e Uc=Ø.


Leis de Augustus De Morgan
  1. O complementar da reunião de dois conjuntos A e B é a interseção dos complementares desses conjuntos.
    (A  B)c = Ac  Bc
  2. O complementar da reunião de uma coleção finita de conjuntos é a interseção dos complementares desses conjuntos.
    (A1  A2 ... An)c = A1c  A2c ... Anc
  3. O complementar da interseção de dois conjuntos A e B é a reunião dos complementares desses conjuntos.
    (A  B)c = Ac  Bc
  4. O complementar da interseção de uma coleção finita de conjuntos é a reunião dos complementares desses conjuntos.
    (A1  A2 ... An)c = A1c  A2c ... Anc


Diferença simétrica
A diferença simétrica entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem à reunião dos conjuntos A e B e não pertencem à interseção dos conjuntos A e B.
AB = { x: xAB e xAB }
O diagrama de Venn-Euler para a diferença simétrica é:

Exercício: Dados os conjuntos A, B e C, pode-se mostrar que:

  1. A=Ø se, e somente se, B=AB.
  2. O conjunto vazio é o elemento neutro para a operação de diferença simétrica. Usar o ítem anterior.
  3. A diferença simétrica é comutativa.
  4. A diferença simétrica é associativa.
  5. AA=Ø (conjunto vazio).
  6. A interseção entre A e BC é distributiva, isto é:
     (B  C) = (A  B)  (A  C)
  7.  B está contida na reunião de AC e de BC, mas esta inclusão é própria, isto é:
     B subset (A  C)  (B  C)

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